Applicable Geometry (1977)(en)(207s) by Heinrich W Guggenheimer

By Heinrich W Guggenheimer

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Divisibilité Si (a,b) ∈ Z × Z, on dit que b divise a si, et seulement si, il existe q ∈ Z tel que a = bq. On dit alors que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a. La relation de divisibilité est une relation d'ordre partiel dans N. • Nombres premiers Définition Un entier p est premier si p 2, et si ses seuls diviseurs sont 1 et p. Propriétés Il y a une infinité de nombres premiers. √ Si n n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à n, alors il est premier. Tout entier n, avec n 2, s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.

Application Soit A un anneau commutatif. On dit qu'un élément x est nilpotent s'il existe n ∈ N tel que x n = 0. 1. Montrez que, si x est nilpotent, alors 1 − x est inversible. 2. Montrez que, si x et y sont nilpotents, alors x y et x + y le sont aussi. Solution 1. Supposons qu'il existe un entier n tel que x n = 0. y = 1 + x + · · · + x n−1 est un élément de A. En développant grâce aux propriétés d'un anneau, on obtient : (1 − x) y = (1 − x) (1 + x + · · · + x n−1 ) = 1 − x n = 1 . L'élément 1 − x est donc inversible, et a pour inverse y.

On le note |z|, ou ρ, ou r. Algèbre et géométrie en 30 fiches 9 Si M est l'affixe de z , |z| est la longueur O M. Le module d'un nombre complexe a les mêmes propriétés que la valeur absolue d'un nombre réel. • Forme trigonométrique Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous forme trigonométrique : z = ρ (cos θ + i sin θ) avec ρ > 0. ρ = |z| est le module de z . θ est un argument de z . On le note arg z . Il est défini, modulo 2π, par : x y cos θ = et sin θ = · ρ ρ • Propriétés de l'argument d'un nombre complexe non nul Les égalités suivantes ont lieu à 2kπ près (avec k ∈ Z) : arg(zz ) = arg z + arg z 1 = − arg z arg z ; arg(z n ) = n arg z avec n ∈ Z ; z ; arg = arg z − arg z .

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