Allgemeine Topologie I by René Bartsch

By René Bartsch

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12 ein initiales Intervall X(w0 ) in Σ liegen derart, daß X(w0 ) ∪ {w0 } ∈ Σ gilt. Dann aber muß ϕX(w0 ) (X(w0 )) = Y gelten, denn da Y selbst der einzige Schnitt in Y ist, der kein initiales Intervall ist, h¨atten wir sonst ja ϕX(w0 ) (X(w0 )) = Y (y0 ) mit irgendeinem y0 ∈ Y , so daß wir ϕX(w0 ) durch ϕ (w0 ) := y0 leicht zu einem Ordnungsisomorphismus von X(w0 ) ∪ {w0 } auf Y (y0 ) ∪ {y0 } erweitern k¨ onnten – im Widerspruch zu X(w0 ) ∪ {w0 } ∈ Σ. 13 leicht einzusehen. Ebenfalls ist dadurch gekl¨art, daß die jeweiligen Ordnungsisomorphismen eindeutig bestimmt sind.

Dann aber w¨ aren f −1 (X2 ) ∪ {a0 } und f (X1 ) ∪ {b0 } (Dedekindsche) Schnitte und f := f ∪ {(a0 , b0 )} ein Ordnungsisomorphismus zwischen diesen – im Widerspruch zur Maximalit¨ at von f . Das vorstehende Lemma ist wichtig und der Beweis unter Verwendung des Auswahlaxioms in Gestalt des Zorn’schen Lemmas sehr sch¨on einfach. Jetzt probieren wir mal, 28 1 Mengentheoretische Grundlagen ob wir das auch ohne Auswahlaxiom schaffen ... Dazu k¨ ummern wir uns erstmal um die Schnitte, die es in einer wohlgeordneten Menge (X, ≤) so gibt.

Wegen A = ∅ existiert ein α ∈ A. Wir setzen A := α ∩ A . Falls A = ∅, haben wir ∀x ∈ A : x ∈ α ⇔ (x ⊆ α) ∨ (x = α) ⇔ α⊆x, so daß also α inklusionsminimal in A ist. h. 18 ja sofort ∀x ∈ A : a ⊆ x folgt. 18 sogleich α ⊆ x. Nat¨ urlich gilt wegen a ∈ A ⊆ α auch a ⊆ α. Das ergibt ∀x ∈ A \ A : a ⊆ x. Insgesamt ist somit a inklusionsminimal in A. 20 On ist keine Menge. 18 sogleich, daß On eine Ordinalzahl w¨ are. 3(1). 21 F¨ ur alle α ∈ On gilt On(α) := {x ∈ On| x ⊂ α, x = α} = α , so daß On(α) insbesondere eine Menge ist.

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